Pour cette question, nous allons vous demander de calculer une approximation numérique de l’intégrale d’une fonction \(f(x)\) – une approximation de \(\int_{a}^{b} f(x) dx\). Notez que le calcul de la valeur de cette fonction \(f\) pour un \(x\) donné vous est fourni sous forme d’une fonction que vous devez appeler dans votre code.

La fonction f vous est donnée et vous ne devez donc pas l’implémenter ! Uniquement l’utiliser.

La fonction que nous vous demandons d’implémenter (integrale) prend différents arguments en entrée : les points a et b, respectivement de début et de fin de l’intervalle global [a, b] sur lequel calculer l’intégrale de la fonction (l’aire sous la fonction dans l’intervalle global [a, b]), ainsi que nbPoints, le nombre de points d’échantillonnage par lesquels vous devez subdiviser [a, b] en sous-intervalles. Les points a et b sont considérés comme faisant partie de l’intervalle et l’on suppose a < b. Bien entendu, au plus nbPoints est élevé, meilleure sera l’approximation.

Dans le cadre de cet exercice, nous vous demandons d’utiliser la méthode des trapèzes afin de calculer la valeur approximative de l’intégrale. Cette méthode est illustrée par la figure ci-dessous pour une approximation contenant trois sous-intervalles, chaque sous-intervalle [xi, xi+1] étant de longueur égale. Dans cet exemple, vous remarquez que l’aire sous la fonction est approximée dans chaque sous-intervalle délimité par [xi, xi+1] en effectuant une interpolation linéaire entre les deux valeurs correspondantes des ordonnées yi = f(xi) et yi+1 = f(xi+1) (ces deux valeurs sont reliées par un segment de droite).

Illustration de la méthode des trapèzes appliquée à une fonction \(f(x)\) (source : Wikipedia).

Notez que, dans cet exemple, nbPoints = 4. Par ailleurs, nous faisons l’hypothèse simplificatrice que la fonction reste non-négative sur l’ensemble de son domaine et que ce domaine comprend tout l’axe des réels (la fonction est définie pour tout réel \(x\)).

La fonction \(f\) prend en argument un nombre réel \(x\) et renvoie en sortie la valeur de la fonction \(f\) au point d’abscisse \(x\), càd \(f(x)\).

Pour rappel, cette fonction vous est donnée et ne doit pas être implémentée !