Fanny et Gaston sortent d'une épreuve nationale des Olympiades Mathématiques. Ils s'en vont boire un verre au bistrot du coin, mais encore tout excités par la prestation qu'ils viennent d'effectuer, ils n'ont d'autre sujet de conversation que leur passion des mathématiques et décident de se lancer des défis : Chacun des deux acteurs pense à une fonction d'une variable réelle, à valeurs réelles ; il en donne des propriétés caractéristiques et demande à son interlocuteur d'identifier la fonction.

• Fanny : la fonction \(f\) est représentée par un polynôme ; elle prend la valeur \(1\) au point \(1\) et elle possède la propriété suivante. Si \(x\) est multiplié par deux alors \(f(x)\) est multiplié par quatre.
• Gaston : la fonction \(g\) est continue ; elle prend la valeur \(2\) au point \(0\) et elle satisfait aux deux conditions suivantes. (i) Si \(x\) est augmenté d'une unité alors \(g(x)\) est multiplié par deux. (ii) Si \(x\) est multiplié par \(m\) alors \(g(x)\) est élevé à la puissance \(m\), et cela pour tout \(m\in \mathbb{N}\).

1. Déterminer la fonction de Fanny
2. Déterminer la fonction de Gaston.
3. Déterminer la parité des fonctions de Fanny et Gaston.

Nos duettistes poursuivent l'exploration des deux fonctions \(f\) et \(g\) qu'ils ont définies. Ils aimeraient savoir si elles peuvent avoir des valeurs égales en certains points.

4. En esquissant le graphe des deux fonctions, déterminer le nombre de points \(x\) en lesquels \(f(x)=g(x)\).