[TP09] Exponentiation - Induction - [LINFO1103] Introduction à l'algorithmique

Question 1: Cas de base

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à un cas de base pour l'algorithme puiss.

L'algorithme est triviallement correct pour \(n = 0\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(x = n-1\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(n \geq 1\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(x \geq 1\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(x \geq 0\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(n = n-1\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(x = 1\)

L'algorithme est triviallement correct pour \(n = 1\)

Question 2: Induction

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à un raisonnement par induction pour prouver que l'algorithme puiss est correct.

Si l'énoncé est vrai pour \(n/2\) alors il est vrai pour \(2n+1\)

Si l'énoncé est vrai pour \(n+1\) alors il est vrai pour \(n-1\)

Si l'énoncé est vrai pour \(\lfloor n/2 \rfloor\) alors il est vrai pour \(n\)

Si l'énoncé est vrai pour \((n-1)/2\) alors il est vrai pour \(n\)

Si l'énoncé est vrai pour \(n/2\) alors il est vrai pour \(2n\)

Si l'énoncé est vrai pour \(n+1`\) alors il est vrai pour \(n\)

Si l'énoncé est vrai pour \(n-1\) alors il est vrai pour \(n\)

Si l'énoncé est vrai pour le cas de base alors il est vrai tout \(n\)

Si l'énoncé est vrai pour \(n\) alors il est vrai pour le cas de base

Si l'énoncé est vrai pour \(n/2\) alors il est vrai pour \(n\)

Question 3: Hypothèse

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à l'hypothèse d'une preuve par induction pour prouver que l'algorithme puiss est correct.

Si n est impair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & x \times \mathit{puiss}(x^2, \frac{n-1}{2})\\ = & {\left(x^2\right)}^{\frac{n-1}{2}+x}\\ = & x^n \end{align*}

Si n est pair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & \mathit{puiss}(x^2, \frac{n}{2})\\ = & {{\left(x\right)}^{\frac{n}{2}}}^{2}\\ = & x^n \end{align*}

Si n est impair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & x \times \mathit{puiss}(x^2, \frac{n-1}{2})\\ = & x \times {\left(x^2\right)}^{\frac{n-1}{2}}\\ = & x^n \end{align*}

Si n est pair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & \mathit{puiss}(x^2, \frac{n}{2})\\ = & {\left(x^2\right)}^{\frac{n}{2}}\\ = & x^n \end{align*}

Si n est pair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & \mathit{puiss}(x^2, \frac{n}{2})\\ = & {\left({x}^{\frac{n}{2}}\right)}^{2}\\ = & x^n \end{align*}

Si n est impair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & x \times \mathit{puiss}(x^2, \frac{n-1}{2})\\ = & {\left(x^3\right)}^{\frac{n-1}{2}}\\ = & x^n \end{align*}

Si n est impair :

\begin{align*} \mathit{puiss}(x, n) = & x \times \mathit{puiss}(x^2, \frac{n-1}{2})\\ = & {\left(x^2\right)}^{\frac{n}{2}}\\ = & x^n \end{align*}

Question 4: Preuve

Sélectionnez, parmi les réponses suivantes, celle qui est correcte.

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'algorithme puiss est incorrect

Le raisonnement inductif ne permet pas de prouver que l'algorithme puiss est correct

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'algorithme puiss est correct

Auteur(s)	Vincent Branders, Pierre Dupont
Date limite	22/04/2026 14:00:00
Limite de soumission	Pas de limite

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