[TP08] Induction et récursion

On vous demande de prouver par induction l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

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Question 1: Relations entre induction et récursion

La récursion et l'induction ont des points communs, mais également des différences.

Sélectionnez, parmi les affirmations suivantes, celles qui sont correctes.

La récursion nécessite la définition d'un cas de base

L'appel récursif est une réduction à un sous-problème

L'induction repose sur un cas de base

Le raisonnement inductif peut être utilisé afin de prouver l'exactitude de certaines fonctions récursive

Le raisonnement par induction permet d'implémenter des fonctions récursives avec une complexité temporelle réduite

L'hypothèse d'un raisonnement par induction est obtenue en réalisant une récursion

Le raisonnement inductif est une généralisation à un problème plus large

La récursion permet de vérifier qu'une preuve par induction est correcte

Question 2: Cas de base

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à un cas de base pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

La proposition est vraie pour \(n = n-1\)

La proposition est vraie pour \(n = 0\)

La proposition est vraie pour \(n = 1\)

La proposition est vraie pour \(n \geq 1\)

La proposition est vraie pour \(n = i+1\)

La proposition est vraie pour \(n = i\)

Question 3: Induction

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à l'induction pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

Si l'énnoncé est vrai pour n/2 alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n-1 alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour le cas de base alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour n-1

Si l'énnoncé est vrai pour n-1 alors il est vrai pour n+1

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour le cas de base

Question 4: Hypothèse

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à l'hypothèse du raisonnement inductif pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n+1} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + i^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6}\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6} + 2n\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + i^2\)

Question 5: Preuve

Soit l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

Sélectionnez, parmi les réponses suivantes, celle qui est correcte.

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'équation suivante est correcte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'équation suivante est incorrecte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Le raisonnement inductif ne permet pas de prouver que l'équation suivante est correcte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Author(s)	Vincent Branders, Pierre Dupont
Deadline	24/04/2024 14:00:00
Submission limit	No limitation

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Question 1: Relations entre induction et récursion

Question 2: Cas de base

Question 3: Induction

Question 4: Hypothèse

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