[TP08] Induction et récursion

On vous demande de prouver par induction l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

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שאלה 1: Relations entre induction et récursion

La récursion et l'induction ont des points communs, mais également des différences.

Sélectionnez, parmi les affirmations suivantes, celles qui sont correctes.

Le raisonnement inductif peut être utilisé afin de prouver l'exactitude de certaines fonctions récursives

Le raisonnement par induction permet d'implémenter des fonctions récursives avec une complexité temporelle réduite

L'appel récursif est une réduction à un sous-problème

Le raisonnement inductif est une généralisation à un problème plus large

La récursion permet de vérifier qu'une preuve par induction est correcte

L'hypothèse d'un raisonnement par induction est obtenue en réalisant une récursion

La récursion nécessite la définition d'un cas de base

L'induction repose sur un cas de base

שאלה 2: Cas de base

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à un cas de base pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

La proposition est vraie pour \(n \geq 1\)

La proposition est vraie pour \(n = 1\)

La proposition est vraie pour \(n = i\)

La proposition est vraie pour \(n = n-1\)

La proposition est vraie pour \(n = i+1\)

La proposition est vraie pour \(n = 0\)

שאלה 3: Induction

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à l'induction pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

Si l'énnoncé est vrai pour n/2 alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour le cas de base alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour le cas de base

Si l'énnoncé est vrai pour n-1 alors il est vrai pour n+1

Si l'énnoncé est vrai pour n-1 alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour n-1

שאלה 4: Hypothèse inductive

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle qui correspond à l'hypothèse du raisonnement inductif pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

\(\sum_{i = 1}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6}\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + i^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n\)

\(\sum_{i = 1}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6}\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6} + 2n\)

שאלה 5: Preuve

Soit l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

Sélectionnez, parmi les réponses suivantes, celle qui est correcte.

Le raisonnement inductif ne permet pas de prouver que l'équation suivante est correcte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'équation suivante est incorrecte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'équation suivante est correcte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

יוצרים	Vincent Branders, Pierre Dupont
מועד הגשה	08/04/2026 14:00:00
מגבלת הגשות	אין הגבלה

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שאלה 2: Cas de base

שאלה 3: Induction

שאלה 4: Hypothèse inductive

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