[TP08] Induction et récursion

On vous demande de prouver par induction l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

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Pregunta 1: Relations entre induction et récursion

La récursion et l'induction ont des points communs, mais également des différences.

Sélectionnez, parmi les affirmations suivantes, celles qui sont correctes.

L'induction repose sur un cas de base

Le raisonnement inductif peut être utilisé afin de prouver l'exactitude de certaines fonctions récursives

La récursion permet de vérifier qu'une preuve par induction est correcte

L'hypothèse d'un raisonnement par induction est obtenue en réalisant une récursion

L'appel récursif est une réduction à un sous-problème

Le raisonnement inductif est une généralisation à un problème plus large

La récursion nécessite la définition d'un cas de base

Le raisonnement par induction permet d'implémenter des fonctions récursives avec une complexité temporelle réduite

Pregunta 2: Cas de base

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à un cas de base pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

La proposition est vraie pour \(n = i\)

La proposition est vraie pour \(n = 1\)

La proposition est vraie pour \(n = i+1\)

La proposition est vraie pour \(n = n-1\)

La proposition est vraie pour \(n \geq 1\)

La proposition est vraie pour \(n = 0\)

Pregunta 3: Induction

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle(s) qui corresponde(nt) à l'induction pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour n-1

Si l'énnoncé est vrai pour le cas de base alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n-1 alors il est vrai pour n+1

Si l'énnoncé est vrai pour n/2 alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour n

Si l'énnoncé est vrai pour n alors il est vrai pour le cas de base

Si l'énnoncé est vrai pour n-1 alors il est vrai pour n

Pregunta 4: Hypothèse inductive

Sélectionnez, parmi les propositions suivantes, celle qui correspond à l'hypothèse du raisonnement inductif pour l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6}\)

\(\sum_{i = 1}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6} + 2n\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \, \times \, (n+1) \, \times \, (2n + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6}\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + n^2\)

\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{(n-1) \, \times \, ((n-1)+1) \, \times \, (2(n-1) + 1)}{6} + i^2\)

Pregunta 5: Preuve

Soit l'énnoncé suivant :

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6} \end{equation*}

Sélectionnez, parmi les réponses suivantes, celle qui est correcte.

Le raisonnement inductif ne permet pas de prouver que l'équation suivante est correcte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'équation suivante est incorrecte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Le raisonnement inductif permet de prouver que l'équation suivante est correcte : \(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n \times (n+1) \times (2n + 1)}{6}\)

Autor(es)	Vincent Branders, Pierre Dupont
Fecha de entrega	08/04/2026 14:00:00
Tiempo límite de envío	Sin límite de envío

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Pregunta 1: Relations entre induction et récursion

Pregunta 2: Cas de base

Pregunta 3: Induction

Pregunta 4: Hypothèse inductive

Pregunta 5: Preuve

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